ตัวอย่าง: วงแหวน Z ของจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโมดูล Z ที่สร้างขึ้นอย่างสมบูรณ์ และ Z คือ Noetherian ตามทฤษฎีบทก่อนหน้า Z เป็นวงแหวน Noetherian ทฤษฎีบท: วงแหวนของเศษส่วนของวงแหวน Noetherian คือ Noetherian
Z X เป็นแหวน Noetherian หรือไม่
วงแหวน Z[X, 1 /X] คือ Noetherian เนื่องจากเป็น isomorphic ถึง Z[X, Y]/(XY − 1).
ทำไมถึงเป็น Z Noetherian
แต่มีอุดมคติมากมายใน Z ที่มี I1 เนื่องจากมันสอดคล้องกับอุดมคติของวงแหวนจำกัด Z/(a) โดย Lemma 1.21 ดังนั้น โซ่จะยาวไม่สิ้นสุด และ Z ก็คือ Noetherian
โดเมน Noetherian คืออะไร
วงแหวนในอุดมคติหลักใดๆ เช่น จำนวนเต็ม เป็น Noetherian เนื่องจากทุกอุดมคติถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียวซึ่งรวมถึงโดเมนในอุดมคติหลักและโดเมนแบบยุคลิด โดเมน Dedekind (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็ม) คือโดเมน Noetherian ซึ่งทุกอุดมคติถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบไม่เกินสององค์ประกอบ
คุณจะพิสูจน์แหวนว่าเป็น Noetherian ได้อย่างไร
Theorem A ring R is Noetherian if and only if all non-empty ชุดอุดมคติที่ไม่ว่างเปล่าของอุดมคติของ R มีองค์ประกอบสูงสุด พิสูจน์ ⇐=ให้ I1 ⊆ I2 ⊆··· เป็น ห่วงโซ่อุดมคติของ R. Put S={I1, I2, …} หากชุดอุดมคติที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดมีองค์ประกอบสูงสุด ดังนั้น S จะมีองค์ประกอบสูงสุด ให้พูดว่า IN
