เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอหรือไม่?

2024 ผู้เขียน: Fiona Howard | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-10 06:43

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น หากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ต่างกัน ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันของพวกมันจะขยายช่องว่างของเวกเตอร์คอลัมน์ที่คอลัมน์ของเมทริกซ์อยู่

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นอิสระเชิงเส้น

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันคือ อิสระเชิงเส้น … หากมีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำๆ กัน แต่ไม่มีข้อบกพร่อง (เช่น ทวีคูณเชิงพีชคณิตเท่ากับทวีคูณทางเรขาคณิต) ผลการสแปนเดียวกันจะคงอยู่

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถพึ่งพาเชิงเส้นได้หรือไม่

ถ้า A เป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน N × N ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน N ดังนั้นชุดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน N ใดๆ จะสร้างพื้นฐานสำหรับ CNการพิสูจน์. เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือ อิสระเชิงเส้น … เนื่องจากแต่ละ Vj=0 เซตย่อยที่ขึ้นต่อกันใดๆ ของ {Vj} ต้องมี eigenvector อย่างน้อยสองตัว

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของค่าเฉพาะเดียวกันทั้งหมดเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันมักจะไม่ขึ้นกับเชิงเส้นเสมอ จากนี้ไปเราสามารถทำให้เมทริกซ์ n × n ในแนวทแยงโดยมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน n เนื่องจากจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น n ตัว

เมื่อค่า eigen มีความเป็นอิสระเชิงเส้น?

ถ้าค่าลักษณะเฉพาะของ A ต่างกัน ปรากฎว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นอิสระเชิงเส้น แต่ถ้ามีค่าลักษณะเฉพาะใดๆ ซ้ำ การตรวจสอบเพิ่มเติมอาจมีความจำเป็น โดยที่ β และ γ ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน