ในทางปฏิบัติ การบูรณาการขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง: หากฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีตัวดำเนินการและทฤษฎี C-พีชคณิต แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องคือแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันซึ่ง อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องกับองค์ประกอบปกติของ C-algebra https://en.wikipedia.org › Continuous_functional_calculus
แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่อง - Wikipedia
ในช่วงเวลาที่กำหนด จะรวมเข้าด้วยกันในช่วงเวลานั้น นอกจากนี้ หากฟังก์ชันมีจำนวนความไม่ต่อเนื่องบางประเภทในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น ก็จะสามารถรวมเข้ากับช่วงเวลานั้นได้ด้วย
อะไรทำให้ฟังก์ชันไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้คือ: ในช่วง [0, b]; และในช่วงเวลาใดๆ ที่มี 0สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันโดยเนื้อแท้ เพราะว่าพื้นที่ที่อินทิกรัลของพวกมันจะเป็นตัวแทนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ยังมีอีกหลายอย่างเช่นกันที่การบูรณาการล้มเหลวเพราะอินทิกรัลกระโดดไปรอบ ๆ มากเกินไป
เป็นฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกันหรือไม่
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันที่บูรณาการอย่างสมบูรณ์คือฟังก์ชัน ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์เป็น integral ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์เหนือโดเมนทั้งหมดมีขอบเขต ดังนั้น อันที่จริงแล้ว "บูรณาการอย่างสัมบูรณ์" หมายถึงสิ่งเดียวกับ "Lebesgue integraable" สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้
เมื่อฟังก์ชันนี้รวม Riemann ได้หรือไม่
A bounded function on a compact interval [a, b] คือ Riemann integral if and only if it is continuous เกือบทุกที่เท่านั้น (ชุดของจุดที่ไม่ต่อเนื่องของมันมีค่าเป็นศูนย์ ในแง่ของการวัด Lebesgue)
ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องกันหรือไม่จึงจะรวมเข้าด้วยกัน
ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ แต่ความต่อเนื่องไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบูรณาการ ตามที่แสดงให้เห็นในทฤษฎีบทต่อไปนี้ ฟังก์ชันที่มีความไม่ต่อเนื่องในการข้ามสามารถรวมเข้าด้วยกันได้