ชุดหนาแน่นไม่มีที่ไหน?

2024 ผู้เขียน: Fiona Howard | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-10 06:43

ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตย่อยของพื้นที่ทอพอโลยีจะเรียกว่าไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นหรือหายาก หากส่วนที่ปิดมีช่องว่างภายในว่างเปล่า ในแง่ที่หลวมมาก มันคือชุดที่มีองค์ประกอบไม่กระจุกตัวแน่นในทุกที่ ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มไม่มีจำนวนจริงหนาแน่นในขณะที่ลูกบอลเปิดไม่อยู่

คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าชุดไม่หนาแน่น

A เซตย่อย A ⊆ X ถูกเรียกว่า nowhere หนาแน่นใน X หากด้านในของฝาปิด A ว่างเปล่า เช่น (A)◦=∅ มิฉะนั้น A จะไม่หนาแน่นนัก ถ้าหากมันถูกบรรจุอยู่ในชุดปิดที่มีภายในว่างเปล่า ผ่านไปยังการเติมเต็ม เราสามารถพูดได้อย่างเท่าเทียมกันว่า A ไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นถ้าส่วนประกอบที่มีชุดเปิดที่หนาแน่น (ทำไม?)

ชุดหนาแน่นทุกที่คืออะไร

A เซตย่อย A ของพื้นที่ทอพอโลยี X มีความหนาแน่นซึ่งการปิดคือพื้นที่ทั้งหมด X (ผู้เขียนบางคนใช้คำศัพท์ทุกที่ที่มีความหนาแน่นสูง) คำจำกัดความทางเลือกทั่วไปคือ: a ชุด A ซึ่งตัดทุกชุดย่อยที่เปิดไม่ว่างของ X.

1 N ไม่มีที่ไหนหนาแน่นหรือ

ตัวอย่างชุดที่ยังไม่ปิดแต่ยังไม่หนาแน่นคือ {1n|

∈N}. มีจุดจำกัดหนึ่งจุดซึ่งไม่ได้อยู่ในชุด (คือ 0) แต่การปิดก็ยังไม่มีจุดที่หนาแน่นเพราะไม่มีช่วงเปิดพอดีภายใน {1n|n∈N}∪{0}.

ถ้าชุดหนาแน่นหมายความว่าอย่างไร

ในโทโพโลยีและสาขาที่เกี่ยวข้องกันของคณิตศาสตร์ เซตย่อย A ของพื้นที่ทอพอโลยี X เรียกว่าหนาแน่น (ใน X) ถ้า ทุกจุด x ใน X เป็นของ A หรือเป็นจุดจำกัดของ A; นั่นคือการปิดของ A ถือเป็นทั้งชุด X.