กลุ่มอาเบเลียนจะมีวงเวียนเมื่อไหร่?

2024 ผู้เขียน: Fiona Howard | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-10 06:43

อย่างไม่เป็นทางการ กลุ่มเป็นวง ถ้ามันถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว เป็นภาษาอาเบเลียนหากการคูณสลับกัน กลุ่มจะวนเป็นวงกลมหากสามารถสร้างได้ด้วยองค์ประกอบเดียว

เป็นกลุ่มอาเบเลียนหรือเปล่า

กลุ่มวงกลมทั้งหมดเป็นชาวอาเบเลียน แต่กลุ่มชาวอาเบเลียนไม่จำเป็นต้องเป็นวงเวียน กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่ม Abelian เป็นเรื่องปกติ ในกลุ่ม Abelian แต่ละองค์ประกอบอยู่ในคลาส conjugacy โดยตัวมันเอง และตารางอักขระเกี่ยวข้องกับพลังขององค์ประกอบเดียวที่เรียกว่าตัวสร้างกลุ่ม

คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่ากลุ่มอาเบเลียนเป็นวงเวียน

หลักฐาน

1. ให้ G เป็นกลุ่มวัฏจักรด้วยเครื่องกำเนิด g∈G กล่าวคือ เรามี G=⟨g⟩ (ทุกองค์ประกอบใน G มีกำลังของ g.)
2. ให้ a และ b เป็นองค์ประกอบตามอำเภอใจใน G แล้วมี n, m∈Z ที่ a=gn และ b=gm.
3. ดังนั้นเราจึงได้ ab=ba สำหรับ a, b∈G โดยพลการ ดังนั้น G จึงเป็นกลุ่มอาเบเลียน

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่ากลุ่มเป็นวงกลม

4 คำตอบ. กลุ่มจำกัดเป็นวงวน ถ้า และ ก็ต่อเมื่อมีกลุ่มย่อยหนึ่งกลุ่มอย่างแม่นยำ ของตัวหารแต่ละตัวในลำดับของมันดังนั้น หากคุณพบกลุ่มย่อยสองกลุ่มที่มีลำดับเดียวกัน กลุ่มนั้นจะไม่เป็นแบบวน และนั่นสามารถช่วยได้ในบางครั้ง

กลุ่มวัฏจักรอธิบายด้วยตัวอย่างคืออะไร

ตัวอย่างเช่น (Z/6Z)^×={1, 5} และเนื่องจาก 6 เป็นสองเท่าของจำนวนเฉพาะคู่นี้ เป็นกลุ่มวัฏจักร … เมื่อ (Z/nZ)^× เป็นวงจร ตัวสร้างจะเรียกว่า primitive root modulo n สำหรับจำนวนเฉพาะ p กลุ่ม (Z/pZ)^{× จะเป็นวัฏจักรเสมอ ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของฟิลด์จำกัดของลำดับ p}