กลุ่มวงกลมทั้งหมดเป็นชาวอาเบเลียน แต่กลุ่มชาวอาเบเลียนไม่จำเป็นต้องเป็นวงเวียน กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่ม Abelian เป็นเรื่องปกติ ในกลุ่ม Abelian แต่ละองค์ประกอบอยู่ในคลาส conjugacy โดยตัวมันเอง และตารางอักขระเกี่ยวข้องกับพลังขององค์ประกอบเดียวที่เรียกว่าตัวสร้างกลุ่มตัวสร้างกลุ่มคือ ชุดขององค์ประกอบกลุ่ม เช่นนั้น อาจใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าซ้ำ ๆ กันในตัวเองและสามารถสร้างองค์ประกอบทั้งหมดในกลุ่มได้ กลุ่มวัฏจักรสามารถสร้างเป็นพลังของเครื่องกำเนิดเดียว https://mathworld.wolfram.com › GroupGenerators
ตัวสร้างกลุ่ม -- จาก Wolfram MathWorld
กลุ่มไหนที่ไม่ใช่อาเบเลียน
กลุ่มที่ไม่ใช่ชาวอาเบเลียนหรือที่บางครั้งเรียกว่ากลุ่มที่ไม่เปลี่ยนรูปแบบ คือกลุ่มที่องค์ประกอบบางกลุ่มไม่สับเปลี่ยน กลุ่มที่ไม่ใช่ชาวอาเบเลียนที่ง่ายที่สุดคือ dihedral group D3 ซึ่งอยู่ในลำดับกลุ่มที่หก
กลุ่มธรรมดาทั้งหมดเป็นภาษาอาเบเลียนหรือไม่
กลุ่ม abelian ธรรมดากลุ่มเดียวคือ กลุ่มของไพรม์ออร์เดอร์ ซึ่งทั้งหมดมีจำกัด มีกลุ่มที่เรียบง่ายไม่สิ้นสุดซึ่งไม่ใช่ชาวอาเบเลียน
คุณจะรู้ได้อย่างไรว่ากลุ่มเป็นชาวอาเบเลียน
วิธีแสดงกลุ่มคืออาเบเลียน
- แสดงตัวสับเปลี่ยน [x, y]=xyx-1y-1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 ขององค์ประกอบโดยพลการ x, y∈G x, y ∈ G จะต้องเป็นเอกลักษณ์
- แสดงกลุ่มที่เป็น isomorphic ไปยังผลิตภัณฑ์โดยตรงของกลุ่ม abelian (ย่อย) สองกลุ่ม
กลุ่มไหนเป็นอาเบเลียนเสมอ
ใช่ กลุ่มวัฏจักรทั้งหมดเป็นภาษาอาเบเลียน ต่อไปนี้เป็นรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยที่ช่วยทำให้ชัดเจนว่า "ทำไม" กลุ่มวัฏจักรทั้งหมดจึงเป็นภาษาอาเบเลียน (เช่น การสลับสับเปลี่ยน) ให้ G เป็นกลุ่มวัฏจักร และ g เป็นตัวสร้างของ G