จำนวนเชิงพีชคณิตนับอนันต์ได้หรือไม่?

2024 ผู้เขียน: Fiona Howard | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-10 06:43

roots ดังนั้นเซตของรูทที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพหุนามทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจึงเป็นยูเนียนที่นับได้ของเซตจำกัด ดังนั้นจึงนับได้มากที่สุด เห็นได้ชัดว่าเซตไม่มีจำกัด ดังนั้นเซตของ เลขพีชคณิตทั้งหมดนับได้.

จำนวนเชิงพีชคณิตไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่

ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดคือ การขยายจำนวนตรรกยะแบบไม่สิ้นสุดของจำนวนตรรกยะ … Q[π] และ Q[e] เป็นฟิลด์ แต่ π และ e เป็น ยอดเยี่ยมเหนือ Q ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต F ไม่มีส่วนขยายเกี่ยวกับพีชคณิตที่เหมาะสม นั่นคือ ไม่มีส่วนขยายเกี่ยวกับพีชคณิต E กับ F < E.

พีชคณิตนับได้ไหม

จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นพีชคณิต เช่นเดียวกับรากของจำนวนเต็มทั้งหมด… เซตของจำนวนเชิงซ้อนนั้นนับไม่ได้ แต่ เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถนับได้ และมีหน่วยวัดเป็นศูนย์ในหน่วยวัด Lebesgue เป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ในแง่นั้น จำนวนเชิงซ้อนเกือบทั้งหมดอยู่เหนือจักรวาล

อะไรถือว่านับไม่ถ้วน

ชุดนับไม่ถ้วน ถ้าองค์ประกอบของมันสามารถใส่ในการติดต่อแบบตัวต่อตัวกับชุดของตัวเลขธรรมชาติ กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถนับองค์ประกอบทั้งหมดใน ฉากในลักษณะที่แม้ว่าการนับจะใช้เวลานาน แต่คุณจะได้ไปยังองค์ประกอบใด ๆ ในระยะเวลาที่จำกัด

จำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดสร้างได้หรือไม่

จำนวนเชิงพีชคณิตบางจำนวนไม่สามารถสร้างได้ ตัวอย่างเช่น รากของสมการพหุนามดีกรีสามอย่างง่าย x³ - 2=0 ไม่สามารถสร้างได้ (ได้รับการพิสูจน์โดยเกาส์ว่าจำนวนเชิงพีชคณิตที่สร้างได้จะต้องเป็นรากของพหุนามจำนวนเต็มของดีกรีซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 และไม่น้อย)