วิธีพิสูจน์ว่าจำนวนอตรรกยะคือ ไม่สมบูรณ์ - Quora -1 / (nsqrt(2)) โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตนี้คือ 0 ซึ่งไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ ดังนั้นอตรรกยะจึงมีเซตย่อย nonempty ที่ล้อมรอบด้านบนซึ่งไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดในชุดของอตรรกยะ
อตรรกยะเป็นพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์หรือไม่
พื้นที่จำนวนอตรรกยะ คือพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์
มีจำนวนอตรรกยะนับไม่ถ้วนหรือไม่
เพราะ π เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ แม้ว่าจำนวนอตรรกยะนั้นไม่ได้หายาก … คู่ระหว่างจำนวนตรรกยะคู่เดียว (เช่น ระหว่าง 1 ถึง 2) มีจำนวนอตรรกยะเป็นอนันต์
ปิดชุดอตรรกยะหรือไม่
ในทางกลับกัน เซตของจำนวนอตรรกยะไม่ปิดเพราะจำนวนตรรกยะทุกจำนวนอยู่ในการปิดของมัน ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน เซตของจำนวนตรรกยะ (ถือว่าเป็นเซตย่อยด้วย ของจำนวนจริง) ก็หนาแน่นในตัวมันเองแต่ไม่ได้ปิด แต่มีความหนาแน่นในตัวเอง
เซตของจำนวนตรรกยะครบหรือไม่
The จำนวนตรรกยะไม่อยู่ในรูป พื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์ จำนวนจริงคือความสมบูรณ์ของ Q ภายใต้เมตริก d(x, y)=|x − y| ด้านบน