เซต R ของจำนวนจริงทั้งหมดคือการรวม (ไม่ปะติดปะต่อ) ของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด … หากเซตของจำนวนอตรรกยะทั้งหมดเป็น countable แล้ว R จะเป็นการรวมของเซตที่นับได้สองชุด ดังนั้น จึงนับได้ ดังนั้นเซตของจำนวนอตรรกยะจึงนับไม่ได้
ชุด RQ นับได้หรือไม่
เซตของจำนวนจริงอตรรกยะทั้งหมดนับได้หรือไม่? วิธีแก้ไข: ถ้า R-Q นับได้ then R1=(R-Q)⋃ Q นับได้ เป็นการขัดแย้ง ดังนั้น R-Q จึงนับไม่ได้
สหภาพของ a และ b นับได้หรือไม่
ถ้า A และ B เป็นเซตนับได้ A ∪ B เป็นเซตนับได้ การพิสูจน์. ถ้า A และ B เป็นจำนวนจำกัด ดังนั้น A ∪ B ก็จะเป็นอย่างนั้น และเซตจำกัดใดๆ ก็สามารถนับได้ … ดังนั้น a1, b1, a2, b2, … เป็นลำดับอนันต์ที่มีทุกองค์ประกอบของ A∪B ดังนั้น A∪B จึงนับได้
เซตของจำนวนเฉพาะนับได้หรือไม่
เซตของจำนวนเฉพาะนั้นนับได้ไม่สิ้นสุดอย่างชัดเจน เนื่องจากเป็นเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าเราอาจพบการแบ่งแยกระหว่าง P และ N … โปรดทราบว่าหาก A นับไม่ได้ เซตย่อย B⊆A ก็ไม่จำเป็นต้องนับไม่ได้ ลองพิจารณาเซตย่อยของ A ที่มีองค์ประกอบเพียงตัวเดียว
เซตของตัวเลขธรรมชาตินับได้หรือไม่
ทฤษฎีบท: เซตของเซตย่อยจำกัดทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติสามารถนับได้ องค์ประกอบของไฟไนต์เซ็ตย่อยสามารถจัดลำดับเป็นลำดับจำกัดได้